子の看護休暇を取得した従業員に証明書類を提出させることはできます。

子の看護休暇は法令等で取得の理由が決められています。
したがって、理由の確認は従業員に大きな負担にならない程度で求めることができます。証明書類の例は以下のとおりです。

【例】
・子どもが受診した医療期間の領収書
・予防接種の記録が分かる証明書（母子手帳など）
・健康診断の検診日が分かる書類（予約表など）
・保育所を休んだことが分かる連絡帳　など

証明書類の提出を求めるのであれば、事前に就業規則に証明書類の提出が必要である旨を記載して、従業員に周知が必要です。